Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前3项．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}对于任意自然数n均有

1

cn

=(an+3)•log3bn，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：本题考查等差和等比数列的概念、通项公式的求法、构造数列的应用、“裂项法”求前n项和等综合性知识；
（Ⅰ）根据数列{a_n}与{b_n}部分项的联系，可以建立关于公差d的方程，由此得到d，然后在求出等比数列{b_n}的公比q的基础上不难得到数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得数列{a_n}与{b_n}的通项公式，根据

1

cn

=(an+3)•log3bn可得数列{c_n}的通项公式，然后利用裂项求和方法即可得到数列{c_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：a₅²=a₂•a₁₄，
即：（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
整理化简得：3d²-6d=0，∵公差d＞0∴d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
由q=

b2

b1

=

a5

a2

=

1+4d

1+d

=3
∴b_n=b₁q^n-1=3ⁿ
故数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为：
a_n=2n-1，b_n=3ⁿ
（Ⅱ）由

1

cn

=(an+3)•log3bn=（2n+2）n=2n（n+1）
∴cn=

1

2n(n+1)

由cn=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)；得数列{c_n}的前n项和为
sn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+… +

1

n

-

1

n+1

)；
=

1

2

(1-

1

n+1

) =

n

2(n+1)

点评：本题是对等差数列和等比数列的综合性研究，求解环节较多，但解题思路清晰，方向明确，不难解决；有两点需要注意：其一，熟练把握等差和等比数列之间的联系，明确彼此项的关系，按照题目要求逐层解决；其二，“裂项法”求前n项和经常用到，要总结“裂项”的特点和方法．