Question

设f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₂₀₁₃=（　　）

• A．(

  1

  2

  )2012
• B．(

  1

  2

  )2013
• C．(

  1

  2

  )2014
• D．(

  1

  2

  )2015

Answer 1

分析：由函数的知识结合等比数列的定义可得：数列{a_n}为公比为-

1

2

，首项为

1

4

的等比数列，由等比数列的通项公式可得答案．

解答：解：由题意可得f₁（0）=

2

1+0

=2，
a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

2-1

2+2

=

1

4

，
由因为f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
所以an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

f1[fn(0)]-1

f1[fn(0)]+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

an，
故数列{a_n}为公比为-

1

2

的等比数列，
故a₂₀₁₃=a₁×(-

1

2

)2012=

1

4

×(-

1

2

)2012=(

1

2

)2014
故选C

点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及函数的应用，属基础题．