Question

（2004•河西区一模）设f₁（x）=

2

1+x

，若f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=

4n2+n

36n2+36n+9

．其中n∈N*，试比较T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用递推式即可化为等比数列，利用其通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”即可得出T_2n，通过作差，只要比较2²ⁿ与（2n+1）²的大小，当n≤3时，直接比较，当n＞4时，利用二项式定理展开放缩即可．

解答：解：（I）f1(0)=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，

fn+1(0)=f1[fn(0)]= 2 1+fn(0) ， an+1= fn+1(0)-1 fn+1(0)+2 = 1-fn(0) 4+2fn(0) =- 1 2 • fn(0)-1 fn(0)+2 =- 1 2 an，(3分)

∴{an}是首项为

1

4

，公比为-

1

2

的等比数列（4分）
∴{a_n}的通项公式是an=

1

4

•(-

1

2

)n-1，n∈N*．  （5分）
（II）∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n，
∴-

1

2

T2n=a2+3a3+…+(2n-1)a2n-na2n，（6分）
两式相减得

3

2

T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n．
∴

3

2

T2n=

1 4 [1-(- 1 2 )2n]

1+ 1 2

+n•

1

4

•(-

1

2

)2n-1=

1

6

-

1

6

(-

1

2

)2n+

n

4

•(-

1

2

)2n-1，
∴T2n=

1

9

(1-

3n+1

22n

)，（8分）
又Qn=

n(4n+1)

9(2n+1)2

，
∴

T2n-Qn= 3n+1 9•(2n+1)2 - 3n+1 9•22n = 3n+1 9 [ 1 (2n+1)2 - 1 22n ] = 3n+1 9 • 22n-(2n+1)2 22n(2n+1)2

（9分）
∵n∈N*，∴只要比较2²ⁿ与（2n+1）²大小．
当n=1时，2²ⁿ-（2n+1）²=-5＜0，即T₂＜Q₁（10分）
当n=2时，2²ⁿ-（2n+1）²=-7＜0，即T₄＜Q₂（11分）
当n≥3时，22n＜[(1+1)n]2=(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

)2＞[1+n+

n(n-1)

2

]2≥(1+n+n)2=(2n+1)2（13分）
∴T_2n＞Q_n
故n=1或2时，T_2n＜Q_n，n≥3时，T_2n＞Q_n．  （14分）

点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“作差法”、通过二项式定理放缩比较大小等是解题的关键．