Question

已知圆x²+（y-1）²=2上任一点P（x，y），其坐标均使得不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：把已知的不等式恒成立即m≥-x-y恒成立，即m要大于等于-x-y的最大值，求-x-y的最大值的方法是：因为P为圆上的一点，所以P的坐标满足圆的方程，给圆的方程两边除以2后，利用

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2即可得到x+y-1的范围，然后求出-x-y的范围即可得到-x-y的最大值，令m大于等于这个最大值，即可得到满足题意的m的范围．

解答：解：∵x+y+m≥0，即m≥-x-y恒成立，∴只须求出-x-y的最大值即可
将圆x²+（y-1）²=2的方程两边同时除以2，得
1=

x2+(y-1)2

2

≥(

x+y-1

2

)2
∴（x+y-1）²≤4，解得-2≤x+y-1≤2，即-1≤x+y≤3，
∴-3≤-x-y≤1，
∴-x-y的最大值是1，
则m≥1，
所以实数m的取值范围是[1，+∞）．

点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．