Question

设数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃-a₂=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：bn=log3(

3n

2

)+log3an，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设出等比数列的公比，由已知列式求出公比，直接代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把an=2×3n-1代入bn=log3(

3n

2

)+log3an，化简后得到数列{b_n}的通项公式，然后利用分组求和求得数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q，由a₁=2，a₃-a₂=12，
得2q²-2q-12=0，即q²-q-6=0．
解得q=3或q=-2，
∵q＞0，∴q=-2不合题意舍去，
∴an=2×3n-1；
（2）由bn=log3(

3n

2

)+log3an，且an=2×3n-1，得
b_n=log3(

3n

2

×2×3n-1)=log332n-1=2n-1，
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=2的等差数列，
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）=

2(3n-1)

3-1

+

n(1+2n-1)

2

=3ⁿ-1+n²．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，是中档题．