Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R，a为常数）
（1）当a=﹣1时，若方程f（x）= 有实根，求b的最小值；
（2）设F（x）=f（x）e﹣x ， 若F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，f（x）=x2+x﹣lnx，

f′（x）=2x﹣1﹣ = ．

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

∴f（x）≥f（1）=0．

由f（x）= ，得b=xf（x），

又x＞0，∴b≥0．

即b的最小值为0

（2）解：F（x）=f（x）e﹣x，

F′（x）= ．

设h（x）= ．

则h′（x）=﹣2x+ ，可知h′（x）在（0，1]上为减函数．

从而h′（x）≥h′（1）=2﹣a．

①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在区间（0，1]上为增函数，

∵h（1）=0，∴h（x）≤0在区间（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0在区间（0，1]上恒成立．

∴F（x）在区间（0，1]上是减函数，故a≤2满足题意；

②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减．

又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．

∴F（x）在（x0，1）上单调递增，

∵h（e﹣a）＜0，∴F（x）在（0，e﹣a）上递减，这与F（x）在区间（0，1]上是单调函数矛盾．

∴a＞2不合题意．

综合①②得：a≤2

【解析】（1）把a=﹣1代入函数解析式，求导得到导函数的零点，求得原函数的最值，把f（x）= 转化为b=xf（x），则b的最小值可求；（2）求出F′（x）= ．设h（x）= ，可得h′（x）≥2﹣a．然后分a≤2和a＞2研究F（x）在区间（0，1]上是否为单调函数，从而求得a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．