Question

【题目】函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（ ）
A.{x|x＞2或x＜﹣2}
B.{x|﹣2＜x＜2}
C.{x|x＜0或x＞4}
D.{x|0＜x＜4}

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）=ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，

∴二次函数f（x）的对称轴为y轴，

∴﹣ =0，且a≠0，

即 b=2a，∴f（x）=ax2﹣4a．

再根据函数在（0，+∞）单调递增，可得a＞0．

令f（x）=0，求得 x=2，或x=﹣2，

故由f（2﹣x）＞0，可得 2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，解得 x＜0，或x＞4，

故f（2﹣x）＞0的解集为 {x|x＜0或x＞4}，

故选：C．

【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．