Question

3．梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=1．△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥PA．
（2）若E为PA的中点，求证：DE∥平面PBC；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点N，连结DN，计算BD，AD，利用勾股定理的逆定理得出BD⊥AD，根据面面垂直的性质得出BD⊥平面PAD，从而得出BD⊥PA；
（2）取PB的中点F，连结EF，CF，根据中位线定理得出四边形CDEF是平行四边形，故而DE∥CF，于是DE∥平面PBC；
（3）取AD的中点M，连结PM，根据面面垂直的性质得出PM⊥平面ABCD，求出PM，代入棱锥的体积公式计算体积．

解答 证明：（1）取AB的中点N，连结DN．
∵AB∥CD，AB⊥BC，CD=$\frac{1}{2}AB$=BN=1，
∴四边形BCDN是正方形，
∴BD=$\sqrt{2}$，AN=$\frac{1}{2}$AB=1，DN=1，
∴AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD．BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，
∴BD⊥PA．
（2）取PB的中点F，连结EF，CF，
则EF为△PAB的中位线，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，又CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$CD，∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，又DE?平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（3）取AD的中点M，连结PM，
∵△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，
∴PM⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM?平面PAD，
∴PM⊥平面ABCD．
由（1）知AD=$\sqrt{2}$，∴PM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×（1+2）×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．