Question

若函数f（x）=ax³+x在定义域R上恰有三个单调区间，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：导数的概念及应用

分析：求出函数f（x）的导数，要使f（x）=ax³+x恰有三个单调区间，则f'（x）=0，有两个不等的实根，利用判别式△＞0，进行求解即可．

解答： 解：由f（x）=ax³+x，得f′（x）=3ax²+1．
若函数f（x）=ax³+x在定义域R上恰有三个单调区间，
则f′（x）=3ax²+1=0有两个不等的实根，
故△=-12a＞0，
解得a＜0，
∴满足f（x）=ax³+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故选：A

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．