Question

8．如图所示，设 A，B，C，D是不共面的四点，P，Q，R，S分别是AC，BC，BD，AD的中点，若AB=12$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}$，且四边形PQRS的面积是12$\sqrt{3}$，
（1）求证：S，R，Q，P四点共面．
（2）求异面直线AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线的性质定理证出四边形SRQP是平行四边形，即可证明S，R，Q，P四点共面．
（2）得到∠SRQ是要求的异面直线所成的角，根据所给的条件写出角所在的三角形中的线段的长，得到要求的角的正弦值，得到结果．

解答 （1）证明：由题意知SR是△ABD的中位线，
∴SR∥$\frac{1}{2}$AB，SR=$\frac{1}{2}$AB，
同理PQ∥$\frac{1}{2}$AB，PQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴SR∥PQ，SR=PQ，
∴四边形SRQP是平行四边形，
∴S，R，Q，P四点共面．
（2）解：由（1）可得∠SRQ是要求的异面直线所成的角，
在四边形SRQP中，SR=6$\sqrt{2}$，RQ=2$\sqrt{3}$，
四边形PQRS的面积是12$\sqrt{3}$，
∴SR上的高为$\frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}=\sqrt{6}$
∴sin∠SRQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠SRQ=45°，
∴异面直线AB和CD所成角的大小为45°．

点评 本题考查异面直线所成的角，本题解题的过程是先做出角，再证明角是异面直线所成的角，最后求出角的大小．