Question

【题目】若存在常数，使得无穷数列满足，则称数列为“Γ数列．已知数列为“Γ数列”．

（1）若数列中，，试求的值；

（2）若数列中，，记数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）若为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）满足条件数列的通项公式为：或，详见解析

【解析】

（1）直接利用信息求出数列的项．

（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．

（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．

（1）数列为“Γ数列”中，，

所以：当时，时，，

又，即：，

，．

（2）因为数列是“Γ数列”，且，所以：，

则：数列前4n项中的项b4n-3是以2为首项，6为公差的等差数列．

易知{b4n}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．

所以：

，

．

由于不等式对恒成立，

所以：，

设，

则：，

所以：

当时，，

当时，，

所以：

所以的最大值为．

即．

（3）为等比数列，设数列的公比，

由等比数列的通项公式：，

当时，，

即：，

①，则，故：．

②当时，则：，

所以为常数，则，k为偶数时，

经检验，满足条件数列的通项公式为：或．