Question

【题目】已知椭圆：的左，右焦点分别为，，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为

【解析】

（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得，再求得，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线的方程为，再设，，，，则，．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出所在直线方程，取求得值，即可证明直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．

解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知

.

解得.

又，

椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）由题意，设直线的方程为.

设，，则.

由，消去，可得.

，.

，.

，

直线的方程为.

令，可得.

..

直线经过轴上定点，其坐标为.