【题目】在线段的两端点各置一个光源,已知光源,的发光强度之比为,则线段上光照度最小的一点到,的距离之比为______(光学定律:点的光照度与到光源的距离的平方成反比,与光源的发光强度成正比)
【答案】
【解析】
设线段长为L,线段上光照度最小的一点P到,的距离分别为,不妨设,光源的发光强度之比为1,2,由题意可得P点受光源的照度为:,P点受光源的照度为:,作和后利用导数求最值,可得P到,的距离,作比得答案.
解:设线段长为L,线段上光照度最小的一点P到,的距离分别为,不妨设,光源的发光强度为1,2,
∵光照度与光的强度成正比,设比例系数为,
与光源距离的平方成反比,设比例系数为,
故P点受光源的照度为:,
P点受光源的照度为:,
故P点受到,两光源的总照度,
,
令,解得:,
当时,,函数在上递减,
当时,,函数在上递增,
故当时,取极小值,且是最小值,
故P在线段上距离为时,P点的光照度最小,
此时点P到的距离,之比为.
故答案为:.
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【题目】我校对高二600名学生进行了一次知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.
分 组 | 频 数 | 频 率 |
[50,60) | 2 | 0.04 |
[60,70) | 8 | 0.16 |
[70,80) | 10 |
|
[80,90) |
|
|
[90,100] | 14 | 0.28 |
合 计 |
| 1.00 |
(1)填写频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;
(2)请你估算该年级学生成绩的中位数;
(3)如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,再从6人中选2人,求2人分数都在[80,90)的概率.
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【题目】某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)
(1)根据以上数据完成下列的列联表;
(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.
主食蔬菜 | 主食肉类 | 合计 | ||
50岁以下 | ||||
50岁以上 | ||||
合计 | ||||
参考公式:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P、Q分别在公路l、m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
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【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内,,三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:
类行业:85,82,77,78,83,87;
类行业:76,67,80,85,79,81;
类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若从抽取的类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
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【题目】已知椭圆:的左,右焦点分别为,,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点,记点关于轴对称的点为.证明:直线经过轴上一定点,并求出定点的坐标.
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【题目】已知函数.
(1)试求函数的极值点的个数;
(2)若,恒成立,求的最大值.
参考数据:
1.6 | 1.7 | 1.74 | 1.8 | 10 | |
4.953 | 5.474 | 5.697 | 6.050 | 22026 | |
0.470 | 0.531 | 0.554 | 0.558 | 2.303 |
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