Question

【题目】已知函数.

（1）试求函数的极值点的个数；

（2）若，恒成立，求的最大值.

参考数据：

	1.6	1.7	1.74	1.8	10
	4.953	5.474	5.697	6.050	22026
	0.470	0.531	0.554	0.558	2.303

Answer 1

【答案】（1）有唯一极小值点，没有极大值点.（2）10

【解析】

（1）对函数求导可得，先判断在单调递增，结合的符号即可得结果；（2）结合（1）中的结论，有唯一极小值点，故原题等价于，即，令，则在单调递减，结合表中数据存在唯一正数，使得，从而，当时，易知不等式成立，当时，等价于，令，通过导数判断出的单调性，可得，接着证明时，满足题意即可.

（1）函数的定义域为，，

当时，在单调递增，

，时，，

∴存在唯一正数，使得，

函数在单调递减，在单调递增，

∴函数有唯一极小值点，没有极大值点，

∴当时，有唯一极小值点，没有极大值点.

（2）由（1）知，当时，有唯一极小值点，

∴，恒成立

，∴，

∴.

令，则在单调递减，

由于，，

∴存在唯一正数，使得，从而，

由于恒成立，

①当时，成立；

②当时，由于，∴.

令，当时，，

∴在单调递减，从而.

，且，且，

∴.

下面证明时，.

，且在单调递增，由于，，

∴存在唯一，使得，

∴.

令，，易知在单调递增，

∴，

∴，即时，.

∴的最大值是10.