Question

【题目】设数列满足：，（其中为非零实常数）.

（1）设，求证：数列是等差数列，并求出通项公式；

（2）设，记，求使得不等式成立的最小正整数；

（3）若，对于任意的正整数，均有，当、、依次成等比数列时，求、、的值.

Answer 1

【答案】（1），见解析；（2）10；（3）见解析

【解析】

(1)时,根据定义可证数列是等差数列,根据等差数列的通项公式可求;

(2)时,将已知变形可得数列是等比数列,可得的通项公式,

可得的通项公式,再求和解不等式可得;

(3)且时,将已知变形为,可得数列为等比数列,可求得,再根据数列递增可求得,再由、、依次成等比数列,可得,因为,所以只能是.

(1)证明:时,由 得,

所以数列是首项为,公差为的等差数列,

所以.

(2)时,由得.

因为,所以数列是首项为1,公比为的等比数列,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,即,

所以,所以,

所以.

所以使得不等式成立的最小正整数为10.

(3)时,由,得,

得,

所以,

所以,

由知为自然数,所以,

又对于任意的正整数，均有,

所以数列为递增数列,

所以,又,

所以,

所以,

所以,

因为、、依次成等比数列,

所以,

即.

即,

因为,,,

所以只能有,

所以,

综上.