Question

6．已知长方体AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E为D₁C₁的中点，如图所示．
（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD₁与平面B₁EC的交线（不必说明理由）；
（Ⅱ）证明：BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）求平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁交B₁C于M即可得到平面ABD₁与平面B₁EC的交线；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）方法1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的大小．
方法2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 解：（Ⅰ）连接BC₁交B₁C于M，则直线ME即为平面ABD₁与平面B₁EC的
交线，如图所示；…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体AC₁中，所以M为BC₁的中点，又E为D₁C₁的中点
所以在△D₁C₁B中EM是中位线，所以EM∥BD₁，…（6分）
又EM?平面B₁EC，BD₁?平面B₁EC，
所以BD₁∥平面B₁EC；…（8分）
（Ⅲ）因为在长方体AC₁中，所以AD₁∥BC₁，
平面ABD₁即是平面ABC₁D₁，过平面B₁EC上
点B₁作BC₁的垂线于F，如平面图①，

因为在长方体AC₁中，AB⊥平面B₁BCC₁，B₁F?平面B₁BCC₁，所以B₁F⊥AB，BC₁∩AB=B，
所以B₁F⊥平面ABD₁于F．
过点F作直线EM的垂线于N，如平面图②，

连接B₁N，由三垂线定理可知，B₁N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在Rt△B₁FN中，∠B₁NF即是平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的平面角．
因长方体AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，在平面图①中，${B_1}F=\frac{1×2}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，…（10分）
$FM=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$，${C_1}M=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，C₁E=1，在平面图②中，由△EMC₁相似△FMN₁可知$FN=\frac{{E{C_1}•FM}}{EM}$=$\frac{{1×\frac{{3\sqrt{5}}}{10}}}{{\sqrt{1+{{（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）}^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以tan∠B₁NF=$\frac{{{B_1}F}}{NF}$=$\frac{2}{{\sqrt{5}}}•\frac{5}{{\sqrt{5}}}=2$，
所以平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的大小为arctan2．…（12分）
空间向量解法：
（Ⅰ）见上述．…（4分）
（Ⅱ）因为在长方体AC₁中，所以DA，DC，DD₁两两垂直，于是以DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为AD=AB=2，AA₁=1，所以D（0，0，0），D₁（0，0，1），B（2，2，0），B₁（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以$\overrightarrow{B{D_1}}=（-2，-2，1）$，$\overrightarrow{C{B_1}}=（2，0，1）$，$\overrightarrow{CE}=（0，-1，1）$，…（6分）
令平面B₁EC的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$
所以$\overrightarrow{C{B_1}}⊥\overrightarrow m$，$\overrightarrow{CE}⊥\overrightarrow m$，从而有，

$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{C{B_1}}•\overrightarrow m=0}\\{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow m=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+z=0}\\{y=z}\end{array}}\right.$，不妨令x=-1，
得到平面B₁EC的一个法向量为$\overrightarrow m=（-1，2，2）$，
而$\overrightarrow{B{D_1}}•\overrightarrow m=2-4+2=0$，所以$\overrightarrow{B{D_1}}⊥\overrightarrow m$，又因为BD₁?平面B₁EC，
所以BD₁∥平面B₁EC．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$\overrightarrow{BA}=（0，-2，0）$，$\overrightarrow{B{D_1}}=（-2，-2，1）$，令平面ABD₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
所以$\overrightarrow{BA}⊥\overrightarrow n$，$\overrightarrow{B{D_1}}⊥\overrightarrow n$，从而有，$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{B{D_1}}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-2y=0}\\{-2x-2y+z=0}\end{array}}\right.$，不妨令x=1，
得到平面ABD₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，0，2）$，…（10分）
因为$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{-1+4}{{\sqrt{9}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（11分）
所以平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大．