Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

1

2

AD．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）设E是棱PD上一点，且PE=

1

3

PD，求异面直线AE与PB所成的角．

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，写出有关的点及向量的坐标．（1）利用

a

•

b

?

a

⊥

b

，来证明线线垂直，从而证明线面、面面垂直；（2）先求出两条异面直线的方向向量，进而利用向量的夹角即可求出异面直线所成的夹角．

解答：解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz．
∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°，
∴∠PBA=60°，∴PA=ABtan60°=

3

．
取AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，

3

），D（0，2，0）．
（1）∵

AC

=（1，1，0），

AP

=（0，0，

3

），

CD

=（-1，1，0），
∴

AC

•

CD

=-1+1+0=0，

AP

•

CD

=0．
∴AC⊥CD，AP⊥CD，
∵AC∩AP=A，
∴CD⊥平面PAC．
又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）∵

PE

=

1

3

PD

，

PD

=(0，2，-

3

)，
∴

OE

=

OP

+

1

3

PD

=（0，0，

3

）+

1

3

(0，2，-

3

)=(0，

2

3

，

2 3

3

)，
∴E（0，

2

3

，

2 3

3

），∴

AE

=（0，

2

3

，

2 3

3

）．
又

PB

=（1，0，-

3

），∴

AE

•

PB

=-2．
∴cos＜

AE

•

PB

＞=

AE • PB

| AE |•| PB |

=

-2

4 3 ×2

=-

3

4

．
∴异面直线AE与PB所成的角为arccos

3

4

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量和直线的方向向量等知识证明线线、线面、面面垂直和求出异面直线所成的夹角的方法是解题的关键．