【题目】如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D1-AC-B1的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.
【答案】(Ⅰ)详见解析 (Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2),又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得 M,N(1,-2,1).
(Ⅰ)依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,=,
由此可得,n=0,又因为直线MN平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)=(1,-2,2),=(2,0,0),
设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则
即
不妨设z1=1,
可得 n1=(0,1,1),
设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的一个法向量,
则又=(0,1, 2),得
,不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).
因此有cos〈n1,n2〉==-,
于是sin〈n1,n2〉=,
所以二面角D1-AC-B1的正弦值为.
(Ⅲ)依题意,可设,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1),又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知得
cos〈,n〉===,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2,
所以线段A1E的长为-2.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆交于两点,延长交椭圆于点,的周长为8.
(1)求的离心率及方程;
(2)试问:是否存在定点,使得为定值?若存在,求;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,过抛物线()上一点,作两条直线分别交抛物线于点,,若与的斜率满足.
(1)证明:直线的斜率为定值,并求出该定值;
(2)若直线在轴上的截距,求面积的最大值.
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【题目】下列命题:
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有;
②是、共线的充要条件;
③对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C,若,(,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.
其中不正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知双曲线C1的渐近线是x±2y=0,焦点坐标是F1(-,0)、F2(,0).
(1)求双曲线C1的方程;
(2)若椭圆C2与双曲线C1有公共的焦点,且它们的离心率之和为,点P在椭圆C2上,且|PF1|=4,求∠F1PF2的大小.
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【题目】若点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)面积的最小值为________.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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【题目】某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩(满分是184分)的频率分布直方图.
市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人元的交通和餐补费.
(1)已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;
(2)令表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和,把用的函数来表示,并根据频率分布直方图估计的概率.
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【题目】问:有多少种不同的方法将集合中的元素归入三个(有序)集合,使得每个元素至少含于其中一个集合之中,这三个集合的交是空集,而其中任两个集合的交都不是空集?
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