Question

【题目】如图，过抛物线（）上一点，作两条直线分别交抛物线于点，，若与的斜率满足.

（1）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值；

（2）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

（1）由抛物线（）过点，求得，设，，由，得到，利用点差法可得（）=，从而可得结果；（2）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程可得，，利用点到直线距离公式、弦长公式，由三角形面积公式可得，利用导数研究函数的单调性，由单调性可得三角形面积的最大值.

（1）由抛物线（）过点，得，即.

设，，因为，所以.

因为，，代入上式得到，

通分整理得，

设直线的斜率为，由，，

两式相减可化为

得（）=.

由于，将其代入上式得.

（2）设直线的方程为，

由，

得，

因为，所以，且，，

所以.

又点到直线的距离为，

所以.

令，其中，

则由，

当时，，所以单调递减；当，，所以单调递增，故的最大值为，

故的面积的最大值为.