【题目】已知直线y=ax+1和抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.
(Ⅰ)若a=-2,求弦长|AB|;
(Ⅱ)若以AB为直径的圆经过原点O,求实数a的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)将直线y=x+1和抛物线y2=4x联立,消去y可得x的二次方程,运用韦达定理和弦长公式,计算可得所求值;
(Ⅱ)将直线y=ax+1和抛物线y2=4x联立,消去y可得x的二次方程,运用判别式大于0和韦达定理,由题意可得OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,结合A,B均在直线y=ax+1上,可得a的方程,解方程即可得到所求值.
解:(Ⅰ)将直线y=x+1和抛物线y2=4x联立,可得4x2
x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=2,x1x2=,
即有|AB|=|x1-x2|=
=
=
;
(Ⅱ)将直线y=ax+1和抛物线y2=4x联立,可得a2x2+(2a-4)x+1=0,a≠0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得△=(2a-4)2-4a2=16-16a>0,即a<1,
x1+x2=,x1x2=
,y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1,
以AB为直径的圆经过原点O,可得OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,
即有(1+a2)x1x2+a(+a
+1=0,
解得a=,满足△>0,
故a=.
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【题目】某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,须有,
,
,同时日销售量m(单位:个)与
成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数与
的图象在
上有且只有一个公共点)
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【题目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a、b的值;
(2)若f(x)≤x2+x恒成立,求ab的最大值.
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【题目】对于定义在区间D上的函数:若存在闭区间
和常数e,使得对任意
,都有
,且对任意
,当
时,
恒成立,则称函数
为区间D上的“平底型”函数.
(1)判断函数和
是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(2)若函数是区间
上的“平底型”函数,求m和n的值.
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【题目】已知函数;
(1)当时,若
,求
的取值范围;
(2)若定义在上的奇函数
满足
,且当
,
,求
在
上的解析式;
(3)对于(2)中的,若关于
的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面面
;
(Ⅱ)过的平面交
于点
,若平面
把四面体
分成体积相等的两部分,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知,函数
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
有两个不等的实数根,求
的取值范围;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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