Question

设命题p：函数f（x）=log_a|x|在（0，+∞）上单调递增；q：关于x的方程x²+2x+log_a

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=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“（￢p）∨（￢q）”也为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：“p∨q”为真，“（￢p）∨（￢q）”也为真，说明p与q中至少有一个为真命题，￢p与￢q至少一个是真命题．

解答：解：当命题p是真命题时，应有a＞1；当命题q是真命题时，关于x的方程x²+2x+log_a

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=0无解，
所以△=4-4log_a

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＜0，解得1＜a＜

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．
由于“p∨q”为真，所以p和q中至少有一个为真，又“（￢p）∨（￢q）”也为真，所以￢p和￢q中至少有一个为真，
即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假．p假q真时，a无解；  p真q假时，a≥

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．
综上所述，实数a的取值范围是a≥

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．

点评：已知两个命题 p，q．则当p与q中至少有一个是真命题时，p∨q为真命题；当p与q中只要有一个是假命题时，p∧q就为假命题．