Question

12件产品，其中有5件一等品，4件二等品，3件三等品，从中取6件，使得
（1）至多两件一等品，共有几种取法？
（2）恰好包括两种等别的产品，有几种取法？（列式并计算）

Answer 1

分析：（1）本题是一个排列组合实际应用，至多有2件一等品包括有两件一等品和有一件一等品和没有一等品，写出排列数，用分类加法得到结果．
（2）恰好包括两种等别的产品包括三种情况，即包括二级和一级；包括二级和三级，包括一级和三级，当包括一级和二级，共有C₅²C₄⁴+C₅³C₄³+C₅⁴C₄²+C₅⁵C₄¹，当包含一级和三级时，共有C₃³C₅³+C₃²C₅⁴+C₃¹C₅⁵，当包含二级和三级时共有C₄⁴C₃²+C₄³C₃³，相加得到结果．

解答：解：（1）由题意知本题是一个排列组合实际应用，
至多有2件一等品包括有两件一等品和有一件一等品和没有一等品，
共有C₅¹C₇⁵+C₅²C₇⁴+C₇⁶=451种结果．
（2）恰好包括两种等别的产品包括三种情况，即包括二级和一级；包括二级和三级，包括一级和三级，
当包括一级和二级，共有C₅²C₄⁴+C₅³C₄³+C₅⁴C₄²+C₅⁵C₄¹=84种结果，
当包含一级和三级时，共有C₃³C₅³+C₃²C₅⁴+C₃¹C₅⁵=28种结果，
当包含二级和三级时共有C₄⁴C₃²+C₄³C₃³=7种结果，
由分类计数原理知共有84+28+7=119种结果，
答：至多两件一等品，共有451种取法
恰好包括两种等别的产品，有119种取法．

点评：本题考查排列组合的实际应用，本题包括在排列组合中可能出现的所有的情况，是一个比较全面的题目，本题解题的关键是看出所选的包括两个级别的产品的所有情况，本题是一个中档题目．