Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA，AB，AD两两互相垂直，已知AD∥BC，BC=2AD，E是PB的中点．
（1）求证：AE∥平面PCD；
（2）若平面PBC⊥平面PCD，PA=AB=6，BC=3，求点E到平面PCD的距离d；
（3）设二面角P-BC-D为45°，且PA=AD，求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）设PC中点为M，连接EM，MD，证出AEMD为平行四边形．得出AE∥DM，证出AE∥面PCD即可．
（2）作EG⊥PC于G，利用面PBC⊥面PCD，证出EG⊥面PCD，设EG=d．利用△PBC∽△PGE 解出即可．
（3）作EG⊥PC于G，连接AG，由三垂线定理，∠EGA为二面角B-PC-A 的平面角，解直角三角形EAG得出结果．

解答：（1）证明：设PC中点为M，连接EM，MD，∵E，M 为PB，PC的中点
∴EM∥

1

2

BC，∵BC∥2AD，∴EM∥AD，EM=AD，∴AEMD为平行四边形．
∴AE∥DM，DM?面PCD，∴AE∥面PCD．
（2）解：作EG⊥PC于G，∵面PBC⊥面PCD，∴EG⊥面PCD，∴EG即为所求，设EG=d，
显然△PBC∽△PGE，∴

EG

3

=

3 2

9

，d=EG=

2

（3）解：由BC⊥AB，BC⊥PB，∴P-BC-D的平面角为∠PBA=45°，连接AE，E为PB中点.

PA=AB=AD PA⊥AD，PA⊥AB

⇒

AE⊥PB BC⊥面PAB

，则AE⊥面PBC．由（2）EG⊥PC于G，连接AG
由三垂线定理，∠EGA为二面角B-PC-A 的平面角．设PA=1，∴AE=

2

2

，由（2）的计算方法知：EG=

1

3

∴tan∠EGA=

AE

EG

=

6

2

二面角B-PC-A的大小为arctan

6

2

．

点评：本题主要考查空间角，距离的计算，线面平行、垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．