Question

设函数f(x)=x3-tx+

t-1

2

，t∈R．
（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：
（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|

t-1

2

|+h≥0恒成立．

Answer 1

（1）∵函数f(x)=x3-tx+

t-1

2

，t∈R，∴f^′（x）=3x²-t．
1°若t≤0，则f^′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x²≤3，∴f^′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则f′(x)=3(x+

t 3

)(x-

t 3

)，令f^′（x）=0，解得x=

t 3

，
当x∈[0，

t 3

)时，f^′（x）＜0，∴f（x）在x∈[0，

t 3

)上单调递减；
当x∈(

t 3

，1]时，f^′（x）＞0，∴f（x）在x∈(

t 3

，1]上单调递增．
（2）f(x)+|

t-1

2

|+h≥0?f(x)+|

t-1

2

|≥-h，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，f(x)+|

t-1

2

|的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+|

t-1

2

|，x∈[0，1]，
而g^′（x）=f^′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）_min=min{g（0），g（1）}=min{

t-1

2

+|

t-1

2

|，

1-t

2

+|

t-1

2

|}=0．
当0＜t＜3时，则g(x)min=g(

t 3

)=-

2

3

t

t 3

+

t-1

2

+|

t-1

2

|．
∴h（t）=

0，当t≤0或t≥3时 - 2 3 t t 3 + t-1 2 +| t-1 2 |，当0＜t＜3时

．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）=-

2t

3

t 3

在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）=-

2t

3

t 3

+t-1，h′(t)=1-

t 3

＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-

2 3

9

．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，f(x)+|

t-1

2

|的最小值为m=-

2 3

9

，即得h的最小值为-m=

2 3

9

．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+|

t-1

2

|=-xt+

t-1

2

+|

t-1

2

|+x³=

-xt+x3，当t＜1时 (1-x)t+x3-1，当t≥1时

的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g^′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g^′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x³-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x³-x在x∈[0，1]时的最小值．
h^′（x）=3x²-1，令h^′（x）=0，解得x=

3

3

．
当x∈(0，

3

3

)时，h^′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当x∈(

3

3

，1)时，h^′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为h(

3

3

)=-

2 3

9

．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.f(x)+|

t-1

2

|的最小值m=-

2 3

9

，即得h的最小值为-m=

2 3

9

．