Question

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，g(x)=(lnx-1)

e

x

+x（其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在求出x₀的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）得出f′（x）=-

a

x2

+ 

1

x

=

x-a

x2

，利用函数单调性与导数的关系寻求f（x）在区间（0，e]上单调性，得出最小值．
（2）曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g′（x₀）=0有实数根．g′（x）=

1

x

•e^x+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1其中括号内部分正好为当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1，利用（1）的结论，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0无实数根，故不存在．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

x

+x+lnx-1∴f′（x）=-

a

x2

+ 

1

x

=

x-a

x2

，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值

a

e

．；
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值

a

e

．；
（2）不存在．证明如下
g(x)=(lnx-1)

e

x

+x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=

1

x

•e^x+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1
由（1）知，当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0，而e^x＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g′（x₀）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0无实数根，
故不存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

点评：本题考查函数单调性与导数的关系，函数最值求解，导数的几何意义，考查分类讨论、转化、整体代换、计算能力．是好题．