Question

已知a∈R，函数f(x)=

1

12

x3+

a+1

2

x2+(4a+1)x．
（Ⅰ）如果函数g（x）=f′（x）是偶函数，求f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数f（x）是（-∞，?+∞）上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）据次数为奇数的系数为0，时函数为偶函数求出a；求出导函数的根，判断根左右两边导函数的正负号，据极值的定义求出极值．
（Ⅱ）f（x）的导函数为二次函数，据函数单调性已知对应的导函数大于等于0恒成立，判别式小于等于0求出a的范围．

解答：解：f′(x)=

1

4

x2+(a+1)x+(4a+1)．
（Ⅰ）∵f'（x）是偶函数，
∴a=-1．
此时f(x)=

1

12

x3-3x，f′(x)=

1

4

x2-3，
令f'（x）=0，解得：x=±2

3

．
列表如下：
可知：f（x）的极大值为f(-2

3

)=4

3

，f（x）的极小值为f(2

3

)=-4

3

．

（Ⅱ）∵f′(x)=

1

4

x2+(a+1)x+(4a+1)，
令△=(a+1)2-4•

1

4

•(4a+1)=a2-2a≤0，
解得：0≤a≤2．
这时f'（x）≥0恒成立，
∴函数y=f（x）在（-∞，?+∞）上为单调递增函数．
综上，a的取值范围是{a|0≤a≤2}．

点评：被天籁村利用导数求函数的极大值、极小值；利用导数解决函数单调性已知求参数范围：函数单增对应导数大于等于0；函数单减对应导数小于等于0恒成立．