【题目】已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3﹣2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
【答案】解:①若命题p为真,则:△=4a2﹣16<0,∴﹣2<a<2;
②若命题q为真,则:3﹣2a>1,∴a<1;
∴若p或q为真,p且q为假,则p真q假,或p假q真;
∴ ,或 ;
∴1≤a<2,或a≤﹣2;
∴实数a的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[1,2)
【解析】容易求出命题p为真时,﹣2<a<2,而q为真时,a<1.由p或q为真,p且q为假便可得到p真q假,或p假q真两种情况,求出每种情况的a的范围,再求并集即可得出实数a的取值范围.
【考点精析】掌握复合命题的真假是解答本题的根本,需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
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【题目】甲乙两人进行两种游戏,两种游戏规则如下:游戏Ⅰ:口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.游戏Ⅱ:口袋中有质地、大小完全相同的6个球,其中4个白球,2个红球,由裁判有放回的摸两次球,即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次,摸出两球同色算甲赢,摸出两球不同色算乙赢.
(Ⅰ)求游戏Ⅰ中甲赢的概率;
(Ⅱ)求游戏Ⅱ中乙赢的概率;并比较这两种游戏哪种游戏更公平?试说明理由.
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【题目】正三棱锥P﹣ABC中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论:
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是( ,π);
②若MN⊥AM,则PC与平面PAB所成角的大小为 ;
③过点M与异面直线PA和BC都成 的直线有3条;
④若二面角B﹣PA﹣C大小为 ,则过点N与平面PAC和平面PAB都成 的直线有3条.
正确的序号是 .
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【题目】已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
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【题目】在三棱柱中, 平面, , , ,点在棱上,且.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)当时,求异面直线与的夹角的余弦值;
(2)若二面角的平面角为,求的值.
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【题目】如图,隔河看两目标A、B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.
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【题目】如图, 为圆的直径,点, 在圆上, ,矩形和圆所在的平面互相垂直,已知, .
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小;
(Ⅲ)当的长为何值时,二面角的大小为.
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