【题目】在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立．猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分．将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止．竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；
方案2：连猜三道“生活”类试题．
设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6．
(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由．
(2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由．
【答案】（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高
【解析】
(1)利用互斥概率加法公式及独立乘法公式计算出两种方案的概率，从而作出判断；
(2)分别计算出两种方案的期望值，从而作出判断.
猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”试题记作事件
；
猜中一道“生活”类试题记作事件B，猜错一道“生活”试题记作事件
；
则
，
，
（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：
.
若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：
∵
∴职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大.
(2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：
若职工甲选择方案1，X的可能取值为：0,2,4，
则
，
，
，
数学期望
若职工甲选择方案2，X的可能取值为：0,2,4，
，
数学期望
因为
，
所以职工甲选择方案1所得平均分高.
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【题目】以下四个命题中正确的是（ ）
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若
为空间向量的一组基底，则
构成空间向量的另一组基底
C.
为直角三角形的充要条件是
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
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【题目】2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】已知函数
，
.
（1）当
时，试讨论方程
的解的个数；
（2）若曲线
和
上分别存在点
，
，使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围.
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【题目】如图所示，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
，
，
为棱
的中点.
（1）证明：
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）设点
在线段
上，且直线
与平面
所成角的正弦值是
，求线段的长.
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【题目】如图，正三角形
的边长为
，
、
、
分别为各边的中点，将△沿
、
、
折叠，使
、
、
三点重合，构成三棱锥
．
(1)求平面
与底面
所成二面角的余弦值；
(2)设点
、
分别在
、上，
(
为变量) ；
①当
为何值时，
为异面直线与的公垂线段? 请证明你的结论
②设异面直线与
所成的角为
，异面直线与所成的角为
，试求
的值．
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