Question

已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).当a=时，求函数f(x)的最小值.

Answer 1

分析：本题考查用导数判断函数在给定区间上的单调性，并利用单调性求函数的最值.

解法一 当a=时，

f(x)= =x++2,x∈［1,+∞).

∴f′(x)=1-=,      

当x∈［1,+∞)时，f′(x)>0.

∴函数是增函数.               

∵f(x)在［1，+∞)上是增函数,

∴f(x)≥f(1).而f(1)=，        

于是当x=1时，f(x)取最小值. 

解法二 设x₁、x₂∈［1,+∞)且x₁<x₂,则当a=时，f(x)=x++2.

f(x₁)-f(x₂)=x₁++2-x₂--2

=

∵x₁、x₂∈［1,+∞)且x₁<x₂,

∴x₁-x₂<0,2x₁x₂-1>0.

∴f(x₁)-f(x₂)<0.

∴f(x₁)<f(x₂),即f(x)在x∈［1,+∞)上是增函数.

∴f(1)_min=,即当a=时，函数f(x)取最小值.