Question

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．

类似的性质为：若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：
设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1.
又设点P的坐标为(x，y)，由k_PM＝，k_PN＝，得k_PM·k_PN＝·＝，
将y²＝x²－b²，n²＝m²－b²代入得k_PM·k_PN＝.