【题目】如图,在三棱柱中,平面
平面
,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:证明线面垂直,只需寻求线线垂直,利用题目提供的面面垂直,可以得到线面垂直,进而说明线线垂直;求二面角可采用建立空间直角坐标系,借助法向量求解,本题需要设,根据条件求出
,再利用法向量求出二面角的余弦.
试题解析:(1)证明:∵,
为
的中点,∴
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,∴
平面
,又
平面
,∴
.又
,
,∴
面
.
(2)方法一:由平面平面
,作
于
,则
面
.
作于
,连
,则
,由
,
,
知
,而
,
,故
,即
.
在四边形中,设
.
则由余弦定理得.
,设
与
交于点
,则
,
,而
,则
.
于是,即
,∴
或
(舍)
容易求得: ,而
.
故,由面
面
,则
面
,过
作
于
,连
,则
为二面角
的平面角,由平面几何知识易得
,
.
∴.
方法二:以点为原点,
为
轴,过点
与平面
垂直的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设
,
,则
,
,
,
.
∴,
.由
,得
,∴
,则
,
,于是
,
,
∵,
∴,即
,解得
或
(舍),故
,则
,
,于是
,
,设平面
的法向量为
,则
即
,取
,则
,∴
.
不妨设平面的法向量
,则
,
故二面角的余弦值为
.
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【题目】甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中,数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是 ,则下列叙述正确的是( )
A. >
,乙比甲成绩稳定
B. >
,甲比乙成绩稳定
C. <
,乙比甲成绩稳定
D. <
,甲比乙成绩稳定
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【题目】已知向量 =(cosx,cosx),
=(sinx,﹣cosx),记函数f(x)=2
+1,其中x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的图象的对称中心的坐标;
(Ⅱ)若α∈(0, ),且f(
)=
,求cos2α的值.
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【题目】已知椭圆(
)的两个顶点分别为
和
,两个焦点分别为
和
(
),过点
的直线
与椭圆相交于另一点
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线上有一点
(
)在
的外接圆上,求
的值.
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【题目】设点P的坐标为(x﹣3,y﹣2).
(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现在从盒子中随机取出一张卡片,记下标号后把卡片放回盒中,再从盒子中随机取出一张卡片记下标号,记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y,求点P在第二象限的概率;
(2)若利用计算机随机在区间[0,3]上先后取两个数分别记为x、y,求点P在第三象限的概率.
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【题目】如图所示,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为 的半球O,四边形ABCD为正方形,则该四棱柱的体积最大时,AB的长是( )
A.1
B.
C.
D.2
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形, 且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1
(1)求证:AB∥平面PCD;
(2)求证:BC⊥平面PAC;
(3)若M是PC的中点,求三棱锥C﹣MAD的体积.
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【题目】《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A. 种 B.
种 C.
种 D.
种
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