Question

抛物线x²=8y的准线与坐标轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，P为MN中点，且（

BM

+

MP

）•

MN

=0．
（1）求|

OB

|的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．若存在，求出点B；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意求出点A的坐标，根据（

BM

+

MP

）•

MN

=0得到PB垂直平分线段MN，由点斜式写出MN所在直线方程，和抛物线联立后利用根与系数关系得到MN的中点P的坐标，再由BP和MN垂直得到BP所在直线方程，取x=0得到B在y轴上的截距，由此得到|

OB

|的取值范围；
（2）若存在点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°，则有（1）可知|BP|=

|MN|

2

，由两点间的距离公式及弦长公式分别求出等式两边的长度（用含有k的代数式表示），两边平方后即可求解k的值，则答案可求．

解答：解：（1）抛物线为x²=8y，准线为y=-2，
∴A（0，-2）．
MN的中点为P，∵（

BM

+

MP

）•

MN

=0，
∴

BP

•

MN

=0，∴PB垂直平分线段MN，
设MN为：y=kx-2，与x²=8y联立，得
x²-8kx+16=0．
x_M+x_N=8k，x_Mx_N=16．
由△＞0⇒64k²-4×16＞0⇒k²＞1．
又点P坐标为：xP=

xM+xN

2

=

8k

2

=4k，yP=kxP-2=4k2-2．
∴直线PB方程为：y-4k2+2=-

1

k

(x-4k)．
令x=0，得y=2+4k²＞6，∴|

OB

|的取值范围是（6，+∞）；
（2）存在点B（0，10）为所求．
事实上，若存在点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．
因为由（1）知PB垂直平分线段MN，
所以|BP|=

|MN|

2

，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=

(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2

=4

k2+1

．

1

2

|MN|=

1

2

1+k2

(xM+xN)2-4xMxN

=

1

2

1+k2

64k2-64

=4

k4-1

．
∴4

k2+1

=4

k4-1

．
解得，k²=2，
∴点B（0，10）为所求．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的数量积运算及利用数量积判断两向量的垂直关系，考查了数学转化思想方法，解答的关键是能有题意得到相应的等式，训练了弦长公式的应用，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．