Question

（2010•抚州模拟）抛物线x²=-8y的准线与y轴交于点A．过点A作直线交抛物线于M，N两点，．点B在抛物线对称轴上，且(

BM

+

MN

2

)⊥

MN

．则|

OB

|的取值范围是（　　）

A．（3，+∞）

B．（4，+∞）

C．（5，+∞）

D．（6，+∞）

Answer 1

分析：由题意可设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），，联立方程

y=kx+2 x2=-8y

可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由(

BM

+

MN

2

)⊥

MN

即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，，令x=0可求B的纵坐标，结合K的范围可求|

OB

|的范围

解答：解：由题意可得A（0，2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），
联立方程

y=kx+2 x2=-8y

可得x²+8kx+16=0
则可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴x0=

x1+x2

2

=-4k，y0=

y1+y2

2

=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
∵

BM

+

1

2

MN

=

BM

+

ME

=

BE

又∵(

BM

+

MN

2

)⊥

MN

即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线
则MN的垂直平分线y+4k²-2=-

1

k

(x+4k)与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
则|

OB

|=2+4k²＞6
故选D

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于向量知识的综合应用．