【题目】已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).
(1)当a>0时,用作差法证明:f( )<
[f(x1)+f(x2)];
(2)已知当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1恒成立,试求实数a的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵f(x)=ax2+x,
∴f( )﹣
[f(x1)+f(x2)]=
= =
=
.
∵a>0,又 ,∴
,
∴f( )<
[f(x1)+f(x2)]
(2)解:由题意,得﹣1≤ax2+x≤1对x∈[0,1]恒成立.
1°当x=0时,a∈R;
2°当x≠0时, .
令 ∈[1,+∞),
记g(t)=t2﹣t≥0,∴a≤0,
h(t)=﹣t2﹣t≤﹣2,则a≥﹣2.
∴﹣2≤a≤0,又a≠0.
∴﹣2≤a<0.
【解析】(1)把f( )、
[f(x1)+f(x2)]分别代入函数解析式,作差判断差的符号证明f(
)<
[f(x1)+f(x2)];(2)由|f(x)|≤1恒成立,得﹣1≤ax2+x≤1对x∈[0,1]恒成立,当x=0时,可得a∈R;当x≠0时,分离参数a得到
,令
∈[1,+∞),求出二次函数的最值可得实数a的取值范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减).
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【题目】根据题意解答
(1)利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图.
(2)并说明该函数图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样平移和伸缩变换得到的.
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【题目】某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张,才能获得利润最大?
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【题目】设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1﹣c(n∈N*),其中a,c为实数,且c≠0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°<cos 10°<sin 168°
B.sin 168°<sin 11°<cos 10°
C.sin 11°<sin 168°<cos 10°
D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
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【题目】已知f(x)=3x2﹣2x,数列{an}的前n项和为Sn , 点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<
对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
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