Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
（1）当a＞0时，用作差法证明：f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]；
（2）已知当x∈[0，1]时，|f（x）|≤1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）=ax2+x，

∴f（ ）﹣ [f（x1）+f（x2）]=

= = = ．

∵a＞0，又 ，∴ ，

∴f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]

（2）解：由题意，得﹣1≤ax2+x≤1对x∈[0，1]恒成立．

1°当x=0时，a∈R；

2°当x≠0时， ．

令 ∈[1，+∞），

记g（t）=t2﹣t≥0，∴a≤0，

h（t）=﹣t2﹣t≤﹣2，则a≥﹣2．

∴﹣2≤a≤0，又a≠0．

∴﹣2≤a＜0．

【解析】（1）把f（ ）、 [f（x1）+f（x2）]分别代入函数解析式，作差判断差的符号证明f（ ）＜ [f（x1）+f（x2）]；（2）由|f（x）|≤1恒成立，得﹣1≤ax2+x≤1对x∈[0，1]恒成立，当x=0时，可得a∈R；当x≠0时，分离参数a得到 ，令 ∈[1，+∞），求出二次函数的最值可得实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．