Question

已知椭圆的焦点为F₁(－4，0)，F₂(4，0)，过点F₂且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|BF₁|＋|BF₂|＝10，设点A，C为椭圆上不同两点，使得|AF₂|，|BF₂|，|CF₂|成等差数列。

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 求线段AC的中点的横坐标；

（Ⅲ）求线段AC的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ）4

（Ⅲ）

解析:

(Ⅰ)由已知及椭圆定义，得2a＝|BF₁|＋|BF₂|＝10，即。             （2分）

又，则。                                                  （3分）

故椭圆的标准方程是。                                               （4分）

(Ⅱ)设点，，。

因为椭圆的离心率，，由椭圆焦半径公式，得|AF₂|＝5－，|CF₂|＝5－，

|BF₂|＝5－。                                                         （6分）

因为|AF₂|，|BF₂|，|CF₂|成等差数列，则|AF₂|＋|CF₂|＝2|BF₂|，即

(5－)＋(5－)＝，解得。

设线段AC的中点为M，则，故线段AC的中点的横坐标为4。（8分）

（Ⅲ）因为点A，C在椭圆上，则，两式相减，得

，即。             （9分）

设线段AC的垂直平分线方程为，则

，，，代入上式，得，

所以。                                                              （10分）

因为，则。                （11分）

因为点M在椭圆内部，则，即，所以。     （12分）

从而，故的取值范围是。                             （13分）