Question

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．曲线C₁的参数方程为：（φ为参数）；射线C₂的极坐标方程为：θ=，且射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为
（I ）求曲线C₁的普通方程；
（II）设A、B为曲线C₁与y轴的两个交点，M为曲线C₁上不同于A、B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，求证|OP|．|OQ|为定值．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由于曲线C₁的参数方程为：（φ为参数），
利用同角三角函数的基本关系可得．
由于射线C₂的极坐标方程为：θ=，故射线C₂的方程为 y=x （x≥0）．
把射线的方程代入 可得 x²=．
再由射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为，可得 =，解得 a²=2，
故曲线C₁的普通方程为 ．
（Ⅱ）由|OP|•|OQ|为定值．由（Ⅰ）可知曲线C₁为椭圆，不妨设A为椭圆C₁ 的上顶点，
设M（cosθ，sinθ），P（x_P，0），Q（x_Q，0），因为直线MA与MB分别与x轴交于P、Q两点，
所以K_AM=K_AP，K_BM=K_BQ，由斜率公式并计算得 x_P=，x_Q=，
所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=2，可得|OP||OQ|为定值．
分析：（I ）利用三角函数知识消参，即可求得曲线的普通方程．根据极坐标与直角坐标的互化公式求得射线C₂的方程，再根据射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为，求得a的值，即可得到曲线C₁的普通方程．
（Ⅱ）先设出P、Q的坐标，然后利用斜率公式求解，即可证明结论．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标
方程的方法，三点共线的性质，属于基础题．