Question

18．已知椭圆C的焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，过F₁作直线l交C于A、B两点，△F₂AB的周长为8，则C的标准方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$

Answer 1

分析 由题意可知：设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，4a=8，a=2，c=1，b²=a²-c²=4-1=3，即可求得椭圆的标准方程．

解答 解：由题意可知：椭圆C的焦点F₁、F₂在x轴上，设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
△F₂AB的周长为8，即4a=8，a=2，
即c=1，
b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的离心率，属于基础题．