Question

（1）如图1，已知定点F₁（-2，0）、F₂（2，0），动点N满足|

ON

|=1（O为坐标原点），

F1M

=2

NM

，

MP

=λ

MF2

（λ∈R），

F1M

•

PN

=0，求点P的轨迹方程．

（2）如图2，已知椭圆C：

x2

4

+y²=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂为定值；
（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线，从而可得点P的轨迹方程；
（2）（ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k₁，k₂，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；
（ⅱ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由

QM

•

QN

=0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

解答：解：（1）连接ON，
∵

F1M

=2

NM

，∴点N是MF₁中点，∴|MF₂|=2|NO|=2
∵

F1M

•

PN

=0，∴F₁M⊥PN，∴|PM|=|PF₁|
∴||PF₁|-|PF₂||=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线．
∴点P的轨迹方程是x2-

y2

3

=1； 
（2）（ⅰ）令P（x₀，y₀），则由题设可知x₀≠0，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直线AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，PB的斜率k2=

y0+1

x0

，
又点P在椭圆上，∴

x02

4

+y02=1，
从而有k1k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

；
（ⅱ）设Q（x，y）是以MN为直径的圆上的任意一点，则

QM

•

QN

=0，
∴有（x+

1

k1

）•（x+

1

k2

）+（y+2）（y+2）=0
又k₁•k₂=-

1

4

，
∴MN为直径圆的方程为x2+(y+2)2-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令

x=0 x2+(y+2)2-12=0

，解得

x=0 y=-2±2 3

，
∴以MN为直径的圆恒过定点（0，-2+

3

）或（0，-2-2

3

）．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查代入法，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．