Question

设f（x）=ln（ax²+x+1），
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得ax²+x+1＞0恒成立，可得 

a＞0 △=1-4a＜0

，由此求得a的范围．
（2）由题意可得函数y=ax²+x+1能取遍所有的正实数，可得a=0，或

a＞0 △=1-4a≥0

，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（ax²+x+1）的定义域为R，
∴ax²+x+1＞0恒成立，
∴

a＞0 △=1-4a＜0

，解得a＞

1

4

，即a的范围为（

1

4

，+∞）．
（2）若f（x）的值域为R，则函数y=ax²+x+1能取遍所有的正实数，
∴a=0，或

a＞0 △=1-4a≥0

．
解得a=0，或0＜a≤

1

4

．
故所求的a的范围为{0}∪{a|0＜a≤

1

4

}={a|0≤a≤

1

4

}．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，对数函数的图象和性质综合应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．