Question

7．已知函数f（x）=lnx-f′（1）x+ln$\frac{e}{2}$，g（x）=$\frac{3x}{2}$-$\frac{2}{x}$-f（x）．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）设函数h（x）=x²-x+m，若存在x₁∈（0，1]，对任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，即可求f′（1）的值和f（x）的单调区间；
（2）将不等式恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-f′（1）x+ln$\frac{e}{2}$，的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-f′（1），
令x=1，则f′（1）=1-f′（1），
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-x}{2x}$
由f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得x＞2，此时函数单调递减，
故f（x）的单调增区间为（0，2），递减区间为（2，+∞）；
（2）g（x）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{2}{x}$-f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-lnx-ln$\frac{e}{2}$，x＞0
则g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$
而2x²-x+2=2（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{8}$＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，1]上单调递增，
∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
∵h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）_max=2+m，
由题意可知，g（x）_max≥h（x）_max，
∴ln2-1≥2+m，
∴m≤ln2-3
故实数m的取值范围是（-∞，ln2-3]

点评 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，以及利用导数求函数的最值．考查学生的运算能力