Question

19．已知函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数$f（x）={log_{\sqrt{3}}}$（x+a）的图象上．
（1）求实数a的值；
（2）当方程|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围；
（3）设a_n=g（n+2），b_n=$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}，n∈{N^*}$，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜$\frac{1}{3}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）根据函数g（x）的图象过定点A，代入函数解析式求出a的值即可；
（2）画出函数y=|2^x-1|和y=2b的图象，结合图形即可得出b的取值范围；
（3）根据题意写出a_n、b_n的通项公式，利用裂项法求b₁+b₂+b₃+…+b_n即可．

解答 解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，A点的坐标为（2，2）；…2分
 又因为A点在f（x）上，则
$f（2）={log_{\sqrt{3}}}（2+a）=2$，
即2+a=3，
∴a=1；…4分
（2）|g（x+2）-2|=2b，
即|2^x+1-2|=2b，
∴|2^x-1|=2b；…6分
画出y=|2^x-1|和y=2b的图象，如图所示；
由图象可知：0＜2b＜1，
故b的取值范围为$（{0，\frac{1}{2}}）$；…8分
（3）根据题意，得a_n=2ⁿ+1，
b_n=$\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n}+1）{（2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$；…10分
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{17}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$＜$\frac{1}{3}$．…12分

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是综合性题目．