Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则$\sqrt{3}$sinA-cos（${B+\frac{π}{4}}$）的取值范围为（1，2]．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得B=$\frac{3π}{4}$-A，0＜A＜$\frac{3π}{4}$，进而由三角函数公式可得$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，
∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴sinC=cosC，
∴C=$\frac{π}{4}$，
∴B=$\frac{3π}{4}$-A，0＜A＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sinA-cos（$\frac{3π}{4}$-A+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{3}$sinA+cosA=2sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{12}$，可得：$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\sqrt{3}$sinA-cos（${B+\frac{π}{4}}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及正弦定理和三角函数公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．