Question

13．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点． 将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$时，求三棱锥D-AEM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得AB=2，求得AM，BM的值，结合勾股定理可得MB⊥AM．再由面面垂直的性质可得BM⊥面ADM．从而得到AD⊥BM；
（Ⅱ）过D作DH⊥AM于H，在Rt△ADM中，可得DH．结合$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$，再由V_D-AEM=V_D-ABM-V_E-ABM求解．

解答 （Ⅰ）证明：由题意得AB=2，$AM=BM=\sqrt{2}$，
∴MB⊥AM．
又面ADM⊥面ABCM，面ADM∩ABCM=AM，BM?面ABCM，
∴BM⊥面ADM．
又AD?面ADM，
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）由题意得${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}$${S}_{长方形ABCD}=\frac{1}{2}×2×1=1$．
过D作DH⊥AM于H，在Rt△ADM中，可得DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵面ADM⊥面ABCM，∴DH⊥面ABCM．
∴${V}_{D-ABM}=\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•DH=\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∵$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$，
∴V_D-AEM=V_D-ABM-V_E-ABM=${V}_{D-ABM}-\frac{1}{3}•{S}_{△ABM}•\frac{1}{3}DH$
=$\frac{2}{3}{V}_{D-ABM}=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．