Question

1．已知函数f（x）=k（x+1）²-x，g（x）=2^x-k•2^-x（k∈R且k≠0）
（1）若f（1）=23，求函数g（x）在区间[0，1]上的值域；
（2）当-3＜g（1）＜3时，函数f（x）在区间[0，2]上的最小值大于h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$在（0，+∞]上的最小值，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=23，求出k的值，求出g（x）的解析式，从而求出g（x）在[0，1]的值域即可；
（2）分别求出f（x）和g（x）的最小值，得到关于k的不等式，求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（1）=23，∴k=6，∴g（x）=2^x-6•2^-x，
当x∈[0，1]时，g（x）为增函数，
则g（x）在区间[0，1]上的值域为[-5，-1]．
（2）令t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，∵x＞0，∴t≥2，
∴h（t）=t+$\frac{2}{t}$（t≥2），又y=t+$\frac{2}{t}$在[2，+∞）上递增，
∴当t=2时，h（x）_min=3．
∵-3＜g（1）＜3，∴-2＜k＜10，又k≠0，
∴-2＜k＜0或0＜k＜10，
f（x）=kx²+（2k-1）x+k=k${（x+\frac{2k-1}{2k}）}^{2}$+$\frac{4k-1}{4k}$，
对称轴方程为x=$\frac{1}{2k}$-1，
当$\frac{1}{2}$≤k＜10时，$\frac{1}{2k}$-1≤0，∴f（x）在[0，2]上递减，
f（x）_min=f（0）=k＞3，又$\frac{1}{2}$≤k＜10，∴3＜k＜10．
当0＜k≤$\frac{1}{6}$时，$\frac{1}{2k}$-1≥2，∴f（x）在[0，2]上递减，
f（x）_min=f（2）=9k-2＞3，∴k＞$\frac{5}{9}$，又0＜k≤$\frac{1}{6}$，∴无解．
当$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$时，0＜$\frac{1}{2k}$-1＜2，
∴f（x）_min=$\frac{4k-1}{4k}$＞3，∴-$\frac{1}{8}$＜k＜0，
又$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$，∴无解．
当-2＜k＜0时，$\frac{1}{2k}$-1＜0，
∴f（x）在[0，2]上递减，
∴f（x）_min=f（2）=9k-2＞3，又-2＜k＜0，∴无解．
综上，k∈（3，10）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．