Question

9．设f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（1）当ω=1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若f（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用两角和余差的基本公式以及诱导公式等将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）结合三角函数的图象和性质，求增区间的范围．f（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，可得ω的最大值．

解答 解：（1）f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
化简可得：：f（x）=4sinωx[cosωx×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx]+cos2ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx+2sin²ωx+cos2ωx=1+$\sqrt{3}$sin2ωx
当ω=1时，函数y=f（x）=1+$\sqrt{3}$sin2x
根据三角函数的图象和性质可得：f（x）的值域的值域为[1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]．
（2）由（1）可得f（x）=1+$\sqrt{3}$sin2ωx
∴2k$π-\frac{π}{2}$≤2ωx≤$2kπ+\frac{π}{2}$
解得：$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}$≤x≤$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$，k∈Z
故得函数f（x）的增区间为：[$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$]k∈Z．
∵f（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
故：$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}$≤$-\frac{3π}{2}$且$\frac{π}{2}$≤$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$，k∈Z
解得：$ω≤\frac{1-4k}{6}$且$\frac{4k+1}{2}≥ω$，k∈Z
∵ω＞0．
当k=0时，满足题意，此时ω=$\frac{1}{6}$．
故得ω的最大值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．