Question

14．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）当a＞0时，求f（x）在[e，+∞）上的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求实数a的值；
（3）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；
（3）分离参数得到a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立．令g（x）=xlnx-x³，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵a＞0，x≥e，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在[e，+∞）递增，
故f（x）_min=f（e）=$1-\frac{a}{e}$；
（2）由题意可知，f′（x）=$\frac{1}{x}$++$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$．
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{e}{2}$（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\sqrt{e}$．综上所述，a=-$\sqrt{e}$；
（3）∵f（x）＜x²，∴a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+ln x-3x²，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-{6x}^{2}}{x}$．
∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数．
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴g（x）＜g（1）=-1，
当a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．