Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，且c=$\sqrt{7}$，
（1）求角C
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，结合C是三角形的内角，可求C；
（2）利用余弦定理，求得ab的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求得结论．

解答 解：（1）∵4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴2[1-cos（A+B）]-2cos²C+1=$\frac{7}{2}$，
∴2+2cosC-2cos²C=$\frac{5}{2}$，
∴cos²C-cosC+$\frac{1}{4}$=0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由c=$\sqrt{7}$，
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-7}{2ab}$，
∴ab=a²+b²-7，
∵a²+b²≥2ab（当且仅当a=b取得等号），
∴ab≥2ab-7，即ab≤7，
即有S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×7×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
当a=b时，△ABC的面积的最大值为$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查二倍角余弦公式的运用，余弦定理和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．