Question

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．
（2）由已知利用正弦定理可求bc=2，利用余弦定理可求b+c的值，即可计算求得三角形的周长．

解答 解：（1）asinB=$\sqrt{3}$bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∴由A是三角形内角，可得：A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}{b}$，可得：a²=2=bc，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：2=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-6，解得：b+c=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长为l=a+b+c=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．