Question

14．已知函数f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，a＞0．
（ I）设g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（ II）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）求出导函数g（x）=f'（x）=lnx-2ax+2a，x＞0，通过导函数的导数，结合a的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间．
（ II）利用f（x）在x=1处取得极大值，推出f'（1）=0．通过①当$\frac{1}{2a}=1$，②当$\frac{1}{2a}＞1$，③当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，结合函数的单调性，求出实数a的取值范围．

解答 解：（ I）∵f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，∴g（x）=f'（x）=lnx-2ax+2a，x＞0，
∴$g'（x）=\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$，x＞0．
当a＞0时，在$（0，\frac{1}{2a}）$上g'（x）＞0，g（x）单调递增；
在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上g'（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）的单调增区间是$（0，\frac{1}{2a}）$，单调减区间是$（\frac{1}{2a}，+∞）$．…（6分）
（ II）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f'（1）=0．
①当$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$时，由（ I）知f'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x＞0时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意；
②当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，由（ I）知，f'（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上单调递增，
∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当$1＜x＜\frac{1}{2a}$时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在$（1，\frac{1}{2a}）$上单调递增，
∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意；
③当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，由（ I）知，f'（x）在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递减，
∴当$\frac{1}{2a}＜x＜1$时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，
∴f（x）在$（\frac{1}{2a}，1）$上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．
综上，实数a的取值范围是$（\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．