Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：BC⊥DE．

Answer 1

分析 （1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，证明PA∥EO，然后证明PA∥平面EDB．
（2）证明PD⊥BC，DC⊥BC，推出BC⊥平面PDC．然后证明BC⊥DE．

解答 证明：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO．…（2分）
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO       …（4分）
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB                      …（6分）
（2）∵PD⊥底面ABCD且BC?底面ABCD，∴PD⊥BC ①

又∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC  　　　　　　 ②
其中PD∩DC=D∴BC⊥平面PDC．    …（10分）
又∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．   …（12分）

点评 本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．